도선 저항(Cable loss)에 의한 Gain error

계측에서 Gain error를 이해하는 것은 복잡하면서도 간단합니다.

ADC에서 gain error는 입력과 출력의 기울기, 즉 scale factor가 이상적인 값에서 얼마나 벗어나는지를 뜻합니다. 단순히 디지털 숫자가 촘촘한지 나타내는 resolution이나 값이 반복되는 정도인 precision과는 다른 항목입니다.

계측 장비의 specification이나 datasheet에서는 gain error를 reading의 %, range의 %, ppm 또는 LSB로 표현합니다. 어떤 기준을 사용했는지에 따라 같은 숫자의 의미가 달라지므로 단위와 시험 조건을 함께 읽어야 합니다.

센서와 배선에서 생기는 scale error도 따로 고려해야 합니다. 제작 공차, 감도 오차, 도선 저항, 접촉 저항과 온도 변화가 측정 체인의 기울기를 바꿀 수 있습니다. 교정 성적서가 있는 센서는 출고 시점의 감도 관계를 제공하지만, 설치 후 케이블과 계측기까지 포함한 전체 체인의 오차를 자동으로 없애주지는 않습니다.

지금부터는 실제 계측에서 센서의 손실이 어떻게 발생하고 어떻게 보정할 수 있는지에 대한 이론과 실제 적용에 대해 알아보겠습니다.

Cable resistance 에 의한 Gain error

Strain gauge 계측에서 일어날 수 있는 외력에 의한 오차(error)는 도선 저항에 의한 gain error 가 있습니다.

Excitation voltage를 필요로하는 센서들 (strain gage) 은 인가 전압 대비 출력을 측정하는 방식(mV/V 단위를 사용)으로 전원, 즉 인가전압의 강하에 의한 오차가 도선 저항의 크기에 따라 크게 영향을 미칠 수 있습니다.

스트레인 게이지의 도선 저항에 의한 영향은 도선 저항의 합에 대한 Bridge impedance의 비율이 중요합니다.

예를 들어 약 0.13~0.14 mm²인 26 AWG 구리선의 20°C 부근 저항을 편의상 0.13 Ω/m로 놓겠습니다.

• 도선 저항: 약 0.13 Ω/m

• 센서까지의 케이블 길이: 10 m, 왕복 도체 길이: 20 m

• 브리지 저항: 120 Ω Full bridge

• 왕복 도선 저항: 2.6 Ω

브리지에 실제로 걸리는 전압 비는 아래와 같습니다.

$$\frac{V_{bridge}}{V_{source}} = \frac{R_B}{R_B + 2R_L}$$

따라서 이 예제의 excitation loss는 약 2.12%입니다. 2R_L / R_B로 계산한 약 2.17%는 도선 저항이 브리지 저항보다 충분히 작을 때 사용하는 근사값입니다.

Temperature drift에 의해 가변하는 도선 저항

이렇게 도선 길이에 대한 저항을 예측하고 측정한다면 정확한 데이터를 얻고자 하는 목표에 크게 근접했다고 봐도 되는 것일까요? 실제로 테스트 환경에서, 특히나 스트레인 게이지의 경우 외부 환경에 의해, 특히 온도에 의해 저항이 변화하기도 합니다.

예를 들어, 스트레인게이지를 철판에 부착하고 밤낮으로 테스트하는 경우 도선의 온도는 -10 °C에서부터 한낮의 태양으로 +50 °C까지, 60 °C 이상의 온도가 변화할 수 있습니다.

• Cu : 4000 ppm / °C 로 온도에 따라 저항이 변화하고

• ∆T는 위와 같이 60 °C로 가정하였습니다.

• 구리의 온도계수를 약 4000 ppm/°C로 두면 60°C 변화에서 도선 저항은 약 24% 변하고,

• 위에서 10m 도선이 2%의 Gain error를 발생시킨 것을 감안하면,

• 초기 cable loss가 약 2%라면 그 손실 자체가 약 0.48%p 변할 수 있습니다.

이것이 의미하는 것은 도선 길이만으로 한 번 보정한 static compensation만으로 온도에 따른 변화를 없앨 수 없다는 것입니다. 온도 범위가 크거나 케이블이 길다면 실제 excitation을 감지하는 SENSE 회로나 현장 온도를 포함한 보정이 필요합니다.

스트레인 게이지를 측정할 때 실제로 발생하는 오차

지금까지의 내용을 정리하여 실제로 물리적으로 발생할 오차에 대해서 계산을 해 보겠습니다.

예를 들어 100m 케이블 길이의 350 Ω 스트레인 게이지를 설치한 경우에,

단순 도선 저항에 의한 static cable loss는

• 200 x 0.13 Ω / 350 Ω = 약 7 % 이고

60 °C 만큼의 온도 편차를 고려했을 때 dynamic loss는

• 7 % * 24 % (4000 ppm * 60 °C) = 1.8 % 입니다.

이게 끝일 것으로 생각했지만 놀랍게도 예상되는 오차가 더 있습니다. 지난 시간의 initial offset 을 보정하는 순간의 offset drift가 있습니다. 스트레인 게이지 센서를 설치하는 순간의 오프셋을 2mV/V 로 계산하면

이론적으로는 현재 오프셋 2mV/V를 측정할 때의 오차인 Gain drift 만을 계산하면 아래와 같이

• 2 mV/V * 10 ppm/°C = 0.020 µV/V /°C 와 같이 낮을 것으로 예상이 되지만

여기에 온도 드리프트 현상을 더하면 아래와 같습니다.

• 2 mV/V × 7% × 24% ≈ 34 µV/V입니다. Gauge factor를 2로 가정하면 약 68 µε에 해당합니다. mV/V 비와 등가 변형률의 관계이므로 이 환산 자체는 excitation 5 V 여부와 무관합니다.

Gain drift를 감쇠하기 위한 측정 회로의 구상

지금 스트레인 게이지의 도선에 의한 오차는 단순히 넘어갈 수준을 벗어났습니다. 정적인 오차 뿐만 아니라 동적인 오차까지, 일반적인 측정 방식으로는 오차를 예측하고 보정할 수 없는 지경입니다.

이러한 동적인 오차를 보정하기 위해서 계측 기술자들은 적응형 Gain 보상회로를 구상하게 됩니다.

여기서 사람들은 feed & return 도선 RL1과 RL2에 대해 고민하기 시작합니다.

• 두 도선은 하나의 케이블 뭉치로 연결되어 있다.

• 전원이 인가될 때나 온도에 의한 변화도 RL1과 RL2는 일정하다.

한 가지 해법은 feed와 return 외에 SENSE 도선을 추가해 센서 쪽 전위를 별도로 읽는 것입니다.

• cable loss는 feed line과 return line 이 동일하다.

• SENSE 접점당 접점 저항으로 max. 25 mΩ / 350 Ω = 0.007% 의 오차가 발생할 여지가 있다.

한쪽 SENSE 전위를 고입력 임피던스로 측정하고 두 전원 도선의 저항이 같다고 가정하면, 한쪽에서 확인한 전압 강하를 바탕으로 왕복 손실을 추정할 수 있습니다. +SENSE와 -SENSE를 모두 읽는 remote-sense 또는 ratiometric 회로라면 센서에 실제로 걸린 excitation을 직접 기준으로 사용할 수 있습니다. 어느 방식이 적용되는지는 장비의 입력 회로에 따라 다릅니다.

이런 접근은 측정값을 실제 excitation과의 비로 읽는 ratiometric bridge measurement와 연결됩니다. 다만 Quarter bridge의 일반적인 3선식 결선은 세 번째 선을 단순 SENSE 입력으로만 쓰는 것이 아니라, 동일한 리드 저항을 인접한 브리지 암에 나눠 배치해 offset과 thermal drift를 상쇄하는 경우가 많습니다. 단자 수가 같아도 회로 역할은 다를 수 있으므로 장비 결선도를 확인해야 합니다.

Double SENSE..?

도선이 항상 대칭이라면 SENSE wire는 하나만 있는 것이 최선이 아닐까요? 아주 드문 경우의 비대칭 케이블에서나 쓸 법한 double SENSE 방식은 Carrier frequency 방식의 ( 또는 AC type ) strain gauge 측정시에 위상을 일치시키는 목적으로 사용됩니다. 그리고 비대칭적일 것으로 예상되는, 접점 저항에 의한 비대칭이거나, supply line으로 noise 유입이 예상되는 half bridge 구성에서도 간혹 오차를 보정하는데 single SENSE 보다 정확하게 측정할 목적으로 사용될 수 있습니다.