복소평면에서 jω 미분은 +90도, 1/(jω) 적분은 -90도 회전시키는 관계의 도해
복소평면에서 jω 미분은 +90도, 1/(jω) 적분은 -90도 회전시키는 관계의 도해

정현파 변위를 미분하면 속도가 90° 앞서고, 다시 미분하면 가속도가 변위와 반대 위상이 된다. 사인과 코사인을 매번 미분해도 되지만, 복소 지수로 표현하면 이 변화가 jω를 곱하는 한 줄로 정리된다.

다음과 같이 실수 신호를 복소 지수의 실수부로 표현하자.

x(t)=Re{Xejωt}x(t)=\mathrm{Re}\{Xe^{j\omega t}\}

여기서 X는 복소 진폭이고, e^{jωt} convention을 사용한다.

j를 곱하면 +90° 회전한다

오일러 공식에서 j는 다음과 같다.

j=ejπ/2j=e^{j\pi/2}

복소수 X=|X|e^{jφ}에 j를 곱하면

jX=∣X∣ej(ϕ+π/2)jX=|X|e^{j(\phi+\pi/2)}

크기는 그대로이고 위상은 +90° 이동한다. 반대로 1/j=-j=e^{-jπ/2}를 곱하면 -90° 이동한다.

jω는 여기에 양의 실수 ω를 곱한 것이므로 +90° 회전과 ω배 크기 변화를 동시에 뜻한다.

정현파 미분은 jω 곱셈이다

복소 지수를 미분하면 다음과 같다.

ddt(Xejωt)=jωXejωt\frac{d}{dt}\left(Xe^{j\omega t}\right)=j\omega Xe^{j\omega t}

따라서 주파수영역에서 미분 연산은

X⟶jωXX\longrightarrow j\omega X

로 바뀐다. 미분된 신호의 크기는 ω배, 위상은 +90°다. 두 번 미분하면

(jω)2X=−ω2X(j\omega)^2X=-\omega^2X

가 되어 크기는 ω²배이고 위상은 180° 바뀐다.

예를 들어 100 Hz, 10 µm peak 변위의 속도와 가속도 peak는

V=2π(100)(10×10−6)≈6.28 mm/sV=2\pi(100)(10\times10^{-6})\approx6.28\,\mathrm{mm/s} A=[2π(100)]2(10×10−6)≈3.95 m/s2A=[2\pi(100)]^2(10\times10^{-6})\approx3.95\,\mathrm{m/s^2}

다. 속도는 변위보다 +90°, 가속도는 변위보다 180° 위상차를 가진다.

정현파 적분은 1/(jω) 곱셈이다

0이 아닌 주파수의 복소 지수를 적분하면 다음과 같다.

∫Xejωtdt=Xjωejωt+C\int Xe^{j\omega t}dt=\frac{X}{j\omega}e^{j\omega t}+C

주파수영역 적분 연산은

X⟶1jωXX\longrightarrow\frac{1}{j\omega}X

다. 크기는 1/ω배, 위상은 -90°다. 그러나 시간영역 적분에는 적분상수 C가 있고, 초기조건이 이 값을 결정한다. 순수한 정현 정상상태 페이저 계산은 이 DC 성분과 과도응답을 따로 다룬다.

예를 들어 다음 신호를 생각하자.

x(t)=3cos⁡(20t+10∘)x(t)=3\cos(20t+10^\circ)

복소 진폭은 3∠10°, 각주파수는 20 rad/s다. 미분과 적분의 복소 진폭은 각각 다음과 같다.

dxdt:60∠100∘\frac{dx}{dt}:\quad 60\angle100^\circ ∫x dt:0.15∠−80∘+C\int x\,dt:\quad 0.15\angle-80^\circ+C

시간영역으로 돌리면 미분은 60 cos(20t+100°), 적분의 정현파 성분은 0.15 cos(20t-80°)다. 이 예제처럼 복소 연산은 진폭 계수와 위상 이동을 동시에 보존한다.

ω=0에서는 1/(jω)가 정의되지 않는다. 센서 offset이나 아주 낮은 주파수 noise를 적분하면 큰 drift가 생기는 이유를 이 식에서도 볼 수 있다.

회로의 L과 C도 같은 연산을 사용한다

인덕터 관계 v=L di/dt에 미분 규칙을 적용하면

V~=jωLI~\tilde V=j\omega L\tilde I

이므로 인덕터 임피던스는 Z_L=jωL이다. 전압이 전류보다 +90° 앞선다.

Capacitor 관계 i=C dv/dt에서는

I~=jωCV~\tilde I=j\omega C\tilde V

이므로

ZC=V~I~=1jωCZ_C=\frac{\tilde V}{\tilde I}=\frac{1}{j\omega C}

다. 같은 jω 미분 규칙이 소자 임피던스의 주파수 의존성과 위상차를 만든다.

실제 데이터의 미분과 적분에는 필터가 필요하다

이상적인 미분기의 크기 응답은 ω에 비례한다. 주파수가 높을수록 noise도 크게 증폭한다. 이상적인 적분기는 1/ω에 비례해 저주파 offset, sensor drift와 baseline error를 크게 만든다.

가속도에서 속도나 변위를 계산할 때는 보통 다음을 함께 설계한다.

  1. 센서의 유효 저주파·고주파 응답 범위
  2. DC 제거와 high-pass cutoff
  3. 관심 대역 밖 noise를 제한하는 low-pass filter
  4. FFT block length, window와 overlap
  5. 시간영역 초기조건 또는 주파수영역 DC bin 처리
  6. 계산 결과의 단위와 peak/RMS convention

주파수영역에서 각 bin에 jω 또는 1/(jω)를 곱하는 것만으로 계산은 가능하지만, 필터의 위상·진폭 응답과 경계 transient가 결과에 포함된다.

jω는 정상상태 정현파에 대한 연산자다

d/dt ↔ jω 관계는 Fourier transform과 선형 시불변 시스템에서 핵심 도구다. 그러나 비선형 시스템, 시간에 따라 파라미터가 변하는 시스템, 초기 과도현상을 페이저 하나로 설명하지는 못한다.

복소평면에서 미분은 +90° 회전과 주파수 비례 확대, 적분은 -90° 회전과 주파수 반비례 축소다. 이 해석을 알고 있으면 회로 임피던스와 진동 신호 변환을 같은 원리로 읽을 수 있다.