데시벨은 언제 10log이고 언제 20log일까

데시벨은 물리량 자체가 아니라 두 값의 비율을 로그로 표현한 레벨이다. 가장 먼저 정해야 할 것은 숫자 10과 20이 아니라 다음 두 가지다.

1. 비교하는 물리량이 전력인가, 전력과 제곱 관계인 진폭인가.
2. 비율만 말하는가, 정해진 기준값에 대한 절대 레벨을 말하는가.

이 두 조건을 적지 않고 40 dB라고만 하면 계산 결과가 무엇을 뜻하는지 결정할 수 없다.

전력비는 10log로 정의한다

두 전력 P_1, P_2의 비를 데시벨로 표현하면 다음과 같다.

$$L_P=10\log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\,\mathrm{dB}$$

전력비가 1이면 0 dB, 2이면 약 3.01 dB, 10이면 10 dB다. 반대로 데시벨에서 전력비를 구하려면 다음처럼 계산한다.

$$\frac{P_2}{P_1}=10^{L_P/10}$$

-6 dB의 전력비는 10^{-6/10}≈0.251이다. 음의 데시벨은 음의 전력이 아니라 기준보다 작은 양의 비율을 뜻한다.

20log는 전력이 진폭의 제곱에 비례할 때 나온다

같은 저항 R에 걸리는 RMS 전압을 비교하면 평균 전력은 P=V_{rms}²/R이다.

$$10\log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right) =10\log_{10}\left(\frac{V_2^2/R}{V_1^2/R}\right) =20\log_{10}\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

전압 진폭비의 제곱이 전력비가 되므로 로그 앞의 10이 20으로 바뀐다. 같은 조건에서 전류는 P=I_{rms}²R이므로 같은 유도가 가능하다.

$$L_A=20\log_{10}\left(\frac{A_2}{A_1}\right)\,\mathrm{dB}$$

여기서 A는 전압, 전류, 음압처럼 전력과 제곱 관계인 진폭량을 뜻한다. 진폭비 2는 약 6.02 dB이고, 진폭비 10은 20 dB다.

임피던스가 다르면 전압비만으로 전력 이득을 알 수 없다

20log(V_2/V_1)을 전력 이득과 같다고 둘 수 있는 것은 두 지점의 임피던스가 같거나, 해당 분야의 레벨 정의가 진폭비를 직접 사용한다고 정한 경우다.

두 저항이 다르면 실제 전력비는 다음과 같다.

$$\frac{P_2}{P_1}=\frac{V_2^2/R_2}{V_1^2/R_1}$$

따라서 전압이 같아도 부하 저항이 절반이면 전력은 두 배가 된다. AC 회로에서 위상차와 복소 임피던스가 있으면 유효전력은 V_{rms}I_{rms}\cos\phi로 계산해야 한다. 입력·출력 임피던스가 다른 증폭기나 RF 시스템의 전력 이득은 실제 전력 또는 정의된 power wave를 기준으로 평가한다.

즉, “전압이니까 무조건 20log”가 아니라 어떤 물리적 관계를 레벨로 표현하는지를 먼저 확인해야 한다.

비율 dB와 기준이 붙은 레벨은 다르다

dB만 쓰면 보통 무차원 비율이다. dBm, dBV, dB SPL처럼 꼬리표가 붙으면 약속된 기준값에 대한 레벨이 된다.

예를 들어 10 mW는 10 dBm, 2 V RMS는 약 6.02 dBV다. 0 dBm과 0 dBV는 둘 다 숫자가 0이지만 서로 다른 물리량과 기준을 가리킨다.

디지털 시스템의 dBFS는 full scale을 기준으로 하므로 0 dBFS가 상한이고 일반 신호는 음수로 표시된다. 다만 peak, RMS, 복소 신호 중 무엇을 full scale로 정의하는지는 장비와 규격을 확인해야 한다.

음압은 20 µPa를 기준으로 20log를 쓴다

공기 중 음압 레벨은 RMS 음압 p와 기준 음압 p_0=20 µPa의 비로 정의한다.

$$L_p=20\log_{10}\left(\frac{p}{p_0}\right),\qquad p_0=20\,\mu\mathrm{Pa}$$

음압이 2 Pa RMS라면 비율은 100,000이므로 다음과 같다.

$$L_p=20\log_{10}(100000)=100\,\mathrm{dB\ SPL}$$

0 dB SPL은 무음이 아니라 20 µPa RMS와 같은 음압 레벨이다. dB(A)는 여기에 A-frequency weighting을 적용한 별도의 표시이며, 주파수별 가중과 시간 평균 조건을 함께 읽어야 한다.

SNR도 실제로 비교한 양을 확인한다

신호와 잡음의 평균 전력을 직접 비교하면 다음과 같다.

$$\mathrm{SNR}_{dB}=10\log_{10}\left(\frac{P_s}{P_n}\right)$$

같은 임피던스에서 RMS 전압으로 비교하면 같은 결과를 20log로 쓸 수 있다.

$$\mathrm{SNR}_{dB}=20\log_{10}\left(\frac{V_{s,rms}}{V_{n,rms}}\right)$$

신호 RMS가 잡음 RMS의 100배라면 SNR은 40 dB이고, 전력비는 10,000배다. 반면 peak 신호와 RMS 잡음을 섞어 계산하면 동일한 정의의 비가 아니므로 결과를 SNR이라고 부르기 어렵다. 대역폭과 필터가 바뀌면 적분되는 잡음 전력도 바뀐다.

레벨은 조건이 맞을 때만 산술적으로 더한다

연속된 증폭기와 감쇠기의 비율 레벨은 더할 수 있다. +20 dB 증폭기 뒤에 -6 dB 감쇠기를 연결하면 전체 이득은 +14 dB다.

서로 독립적인 두 전력 또는 비상관 음원의 레벨은 선형 전력으로 되돌려 합한다.

$$L_{sum}=10\log_{10}\left(10^{L_1/10}+10^{L_2/10}\right)$$

같은 레벨 두 개를 합하면 약 3.01 dB 증가한다. 예를 들어 비상관 소음원 70 dB와 70 dB의 합은 약 73 dB다.

그러나 위상이 고정된 coherent 신호는 진폭을 복소수로 더해야 한다. 같은 진폭·같은 위상의 두 정현파는 진폭이 두 배가 되어 6.02 dB 증가하지만, 반대 위상이면 상쇄될 수 있다. “같은 dB 두 개는 항상 +3 dB”라는 규칙은 독립적인 전력 합에만 적용된다.

계산 전 체크할 네 가지

1. 물리량: 전력·에너지인가, 전압·전류·음압 같은 진폭인가.
2. 조건: 진폭비를 전력비로 바꿀 때 임피던스와 위상 조건이 같은가.
3. 기준: 단순 비율 dB인가, dBm·dBV·dB SPL 같은 기준 레벨인가.
4. 검출 방식: peak, RMS, 평균, 가중치와 측정 대역폭이 무엇인가.

10log와 20log는 외워서 고르는 두 공식이 아니다. 전력비를 10log로 정의하고, 전력과 제곱 관계인 진폭비를 같은 레벨로 표현할 때 20log가 유도된다.