음향카메라의 Beamforming 지도는 어디까지 믿을 수 있을까

음향카메라 화면의 빨간 영역은 소음원을 직접 촬영한 픽셀이 아니다. 여러 마이크가 동시에 기록한 압력 신호에 전파 지연을 적용하고, 특정 위치에서 신호가 얼마나 일관되게 합쳐지는지 계산한 추정 지도다.

따라서 지도에서 먼저 물어야 할 것은 “빨간 곳이 어디인가”보다 다음 조건이다.

• 어떤 주파수 대역을 적분했는가.
• scan plane과 실제 소음원의 거리가 맞는가.
• 배열 크기와 마이크 간격이 그 주파수에 적합한가.
• 표시된 넓이가 실제 소음원 크기인가, 배열의 PSF인가.

마이크마다 도착 시간과 위상이 다르다

후보 음원 위치를 x, m번째 마이크 위치를 x_m이라 하면 전파 거리는 다음과 같다.

$$r_m(\mathbf{x})=\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_m\|$$

음속이 c일 때 전파 시간은 τ_m=r_m/c다. 후보 위치가 실제 음원 위치라면 각 채널에 이 지연을 보정했을 때 파형 또는 위상이 정렬된다.

두 마이크 경로차가 Δr이면 주파수 f에서 위상차는 다음과 같다.

$$\Delta\phi=2\pi f\frac{\Delta r}{c}$$

경로차가 10 mm이고 c=343 m/s라면 1 kHz에서 약 10.5°, 10 kHz에서 약 105°의 위상차가 생긴다. 고주파가 작은 배열에서도 위치 차이를 잘 드러내는 이유지만, 동시에 채널별 phase calibration 오차에 더 민감해지는 이유이기도 하다.

주파수영역 Beamforming은 채널 간 관계를 사용한다

여러 마이크의 Fourier coefficient를 벡터 p(f)로 두면 cross-spectral matrix는 다음처럼 계산할 수 있다.

$$\mathbf{C}(f)=E\{\mathbf{p}(f)\mathbf{p}^H(f)\}$$

후보 위치 x의 거리와 감쇠를 반영한 steering vector를 g(x,f), 정규화한 가중치를 w(x,f)라 하면 conventional beamforming map의 한 형태는 다음과 같다.

$$B(\mathbf{x},f)=\mathbf{w}^H(\mathbf{x},f)\mathbf{C}(f)\mathbf{w}(\mathbf{x},f)$$

실제 구현에서는 diagonal removal, weighting, normalization과 averaging 방법이 달라질 수 있다. 같은 데이터도 알고리즘 설정에 따라 map level과 side lobe가 달라지므로, 색상 범위만 맞춘 그림을 정량 비교하면 안 된다.

가까운 제품을 보는 near-field beamforming은 후보점에서 각 마이크까지의 구면 거리 r_m을 직접 사용한다. 먼 음원을 방향으로만 찾는 far-field 모델은 배열 위의 파면을 평면파로 근사한다. 1 m 앞의 모터를 보면서 far-field steering만 사용하면 초점 위치와 레벨이 틀어질 수 있다.

해상도는 파장과 배열 aperture의 비로 제한된다

배열의 대표 지름을 D, 파장을 λ=c/f라 하면 main-lobe 각폭은 대략 다음 비율로 변한다.

$$\theta_{res}\propto\frac{\lambda}{D}$$

비례계수는 배열 형상, weighting과 해상도 정의에 따라 달라지므로 이 식을 정확한 분해능 공식으로 쓰면 안 된다. 그래도 주파수가 높거나 배열이 클수록 main lobe가 좁아지는 경향은 분명하다.

D=0.6 m 배열에서 단순히 λ/D를 계산하면 2 kHz에서는 약 0.286 rad, 즉 16.4°이고 8 kHz에서는 약 4.1°다. 1.5 m 거리에서 각각 약 0.43 m와 0.11 m의 가로 길이에 해당한다. 저주파 지도가 넓게 번지는 것은 표시 설정이 아니라 물리적 aperture 한계일 수 있다.

마이크 개수를 늘리면 side lobe와 통계 안정성을 개선할 수 있지만, 같은 aperture에서 파장에 의해 정해지는 주엽 폭을 무한히 줄이지는 못한다.

마이크 간격은 공간 aliasing을 만든다

일정 간격 d의 규칙 배열에서 넓은 입사각을 다루는 단순 기준은 다음과 같다.

$$d\le\frac{\lambda}{2}$$

마이크 간격이 40 mm라면 이 기준의 상한 주파수는 c/(2d)≈4.29 kHz다. 그보다 높은 주파수에서는 실제 음원과 구분하기 어려운 grating lobe가 나타날 수 있다.

이 조건은 배열 형상과 scan angle에 따라 달라지는 보수적인 출발점이다. Spiral이나 비균일 배열은 반복 간격을 깨서 강한 grating lobe를 여러 낮은 side lobe로 분산시킬 수 있다. 그러나 공간 샘플링 한계를 없애지는 않는다. 사용할 주파수마다 실제 배열의 PSF를 계산하거나 측정해야 한다.

PSF는 점 음원이 지도에서 보이는 모양이다

Point spread function은 특정 위치의 단일 점 음원을 beamforming했을 때 생기는 main lobe와 side lobe의 전체 패턴이다. PSF는 다음 조건에 따라 달라진다.

• 음원 위치와 scan plane 거리
• 주파수와 대역폭
• 마이크 좌표와 채널 weighting
• steering model과 map normalization
• diagonal removal 같은 CSM 처리

따라서 빨간 영역의 폭을 곧바로 실제 방사면 크기로 해석할 수 없다. 가까운 두 음원이 PSF보다 좁은 간격에 있으면 하나의 넓은 음원처럼 보일 수 있다.

공간적으로 일정한 blur라면 convolution으로 설명할 수 있지만, 일반적인 near-field 배열의 PSF는 위치에 따라 달라진다. scan grid를 이산화하면 conventional map을 다음의 선형 모델로 표현하는 편이 더 정확하다.

$$\mathbf{b}=\mathbf{A}\mathbf{q}+\mathbf{n}$$

b는 beamforming map, q는 후보 grid의 source power, A의 각 열은 해당 grid point의 PSF, n은 noise와 모델 오차다.

Deconvolution은 선명도와 가정을 함께 늘린다

DAMAS 계열은 b=Aq를 만족하는 비음수 source distribution을 반복적으로 추정한다. CLEAN-SC 계열은 강한 coherent source component를 찾아 그 기여를 단계적으로 제거한다. 두 방법 모두 conventional map보다 source를 좁게 보이게 하고 side lobe를 줄일 수 있다.

하지만 출력이 날카로워졌다고 공간 해상도 자체가 새로 생긴 것은 아니다. 낮은 SNR, 서로 높은 coherence를 가진 소음원, 잘못된 scan distance, 반사음과 calibration 오차에서는 알고리즘의 가정이 결과를 지배할 수 있다. iteration 수, stopping rule, grid spacing과 정규화 조건을 바꾸어 결과가 안정적인지 확인해야 한다.

현장 지도는 측정 조건과 함께 판정한다

음향카메라 측정 전후에는 다음을 확인한다.

1. 채널 보정: 마이크별 amplitude와 phase mismatch를 확인한다.
2. 동기와 데이터: 모든 채널이 같은 clock으로 기록되고 clipping이 없는지 본다.
3. 음속: 온도를 기록하고 steering에 사용한 c를 맞춘다.
4. 기하: 배열 좌표, 카메라 정렬, 대상 거리와 scan plane을 검증한다.
5. 대역: 관심 tone을 포함하되 공간 aliasing 상한을 넘지 않게 한다.
6. 반사: 강한 벽·바닥 반사가 별도 가상 음원으로 보일 가능성을 확인한다.
7. 재현성: 대역, dynamic range, 알고리즘과 운전 조건을 바꾸어 위치가 유지되는지 본다.

음향카메라는 소음원을 자동 판정하는 카메라가 아니다. 배열의 공간 필터를 통해 특정 가정에 잘 맞는 음향 성분을 위치별로 표시하는 계측 시스템이다. PSF와 주파수 한계를 함께 보면 선명한 지도와 정확한 위치 추정을 구분할 수 있다.