복소평면과 오일러 공식은 어떻게 고차방정식의 근으로 이어질까

복소평면은 실수축과 허수축으로 그리는데, 오일러 공식에는 갑자기 사인과 코사인이 나온다. 그다음에는 x⁵=1 같은 고차방정식의 해가 원 위에 찍힌다고 한다. 각각은 본 적이 있어도 왜 같은 이야기인지 잇는 한 문장이 빠지면 서로 전혀 관계없는 공식처럼 보인다.

그 연결은 의외로 짧다.

복소수 하나는 평면의 점 하나이고, a+bi는 그 점의 가로·세로 좌표, r(cosθ+i sinθ)는 같은 점의 거리·각도 좌표다. 오일러 공식은 두 번째 표현을 re^{iθ}로 줄여 쓴다.

이 문장을 그림과 숫자로 풀고 나면 복소수의 곱셈은 회전이 되고, zⁿ은 각도를 n배 하는 함수가 되며, zⁿ=1의 해가 원을 똑같이 나누는 이유까지 한꺼번에 이어진다.

복소수는 두 종류의 수를 붙인 것이 아니라 평면의 좌표다

복소수

$$z=a+bi$$

를 볼 때 a와 b는 한 점의 두 좌표다.

• a: 실수축 방향 좌표
• b: 허수축 방향 좌표
• i: 허수축의 단위 방향이며 i^2=-1

예를 들어 z=3+4i는 원점에서 오른쪽으로 3, 위로 4 간 점이다. 크기, 즉 원점에서 점까지의 거리는 피타고라스 정리로

$$r=|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5$$

이고 각도는

$$\theta=\operatorname{atan2}(4,3)\approx53.13^\circ$$

다.

이제 길이 5인 빗변을 가진 직각삼각형을 보면

$$\cos\theta=\frac{3}{5},\qquad \sin\theta=\frac{4}{5}$$

이므로

$$3=5\cos\theta,\qquad 4=5\sin\theta$$

다. 이를 원래 복소수에 넣으면

$$z=3+4i =5\cos\theta+i5\sin\theta =5(\cos\theta+i\sin\theta)$$

가 된다.

여기서 사인과 코사인은 복소평면과 별개의 주제가 아니다. 원 위 점의 가로 좌표가 코사인이고 세로 좌표가 사인이기 때문에 나온다. i는 세로 성분이라는 표시를 맡는다.

오일러 공식은 같은 점의 표기를 줄여 준다

오일러 공식은

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

다. 따라서 방금 구한 3+4i는

$$3+4i=5e^{i53.13^\circ}$$

라고도 쓸 수 있다. 세 식은 각각 다음 정보를 앞에 내세운다.

왜 지수함수에서 사인과 코사인이 나오는지는 급수로도 확인할 수 있다. 실수 지수함수에 iθ를 넣고 i²=-1을 사용하면

$$e^{i\theta} =1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!} +\frac{(i\theta)^3}{3!}+\cdots$$ $$=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right) +i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right)$$

가 된다. 첫 괄호는 cosθ, 두 번째 괄호는 sinθ의 급수다. 그래서 e^{iθ}는 실수 지수함수처럼 한 방향으로 커지는 모습이 아니라, 크기 1을 유지하며 각도 θ만큼 회전하는 점을 나타낸다.

특히

$$e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$$

이므로 유명한 식 e^{iπ}+1=0도 단위원에서 180° 돌아 -1에 도착했다는 뜻이다.

복소수의 곱셈은 크기를 곱하고 각도를 더한다

두 복소수를 오일러 형식으로 쓰면

$$z_1=r_1e^{i\theta_1},\qquad z_2=r_2e^{i\theta_2}$$

이고 곱은

$$z_1z_2 =r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

다. 크기는 곱해지고 각도는 더해진다. 참고 글에서 “지수의 곱셈이 덧셈이 된다”라고 짚은 부분이 바로 이것이다.

가장 간단한 숫자 예제로 z=1+i를 제곱해 보자.

$$1+i=\sqrt2e^{i45^\circ}$$

이므로

$$(1+i)^2 =(\sqrt2)^2e^{i(2\cdot45^\circ)} =2e^{i90^\circ} =2i$$

다. 직교형으로 전개해도 1+2i+i²=2i로 같은 답이 나온다. 극형에서는 길이 √2가 제곱되어 2가 되고 각도 45°가 두 배 되어 90°가 되는 장면이 바로 보인다.

고차함수와 복소평면의 관계: 차수는 차원이 아니다

z⁵처럼 5차라고 해서 5차원 공간으로 가는 것은 아니다. 입력도 복소수 하나, 출력도 복소수 하나이므로 여전히 복소평면에서 복소평면으로 가는 함수다.

$$P:\mathbb C\to\mathbb C$$

다항함수 P(z)는 복소평면의 모든 입력점을 다른 출력점으로 보낸다. 근은 그중에서 원점으로 보내지는 입력점이다.

$$P(z)=0$$

특히 거듭제곱 함수는

$$z=re^{i\theta} \quad\Longrightarrow\quad z^n=r^ne^{in\theta}$$

이므로 다음 두 가지를 동시에 한다.

1. 원점에서의 거리 r을 rⁿ으로 바꾼다.
2. 원점 주위 각도 θ를 nθ로 바꾼다.

이것이 복소평면과 고차함수 사이의 가장 직접적인 관계다. 다만 일반적인 다항식 zⁿ+a_{n-1}z^{n-1}+⋯+a_0은 여러 항을 더하므로 그림이 더 복잡해진다. 모든 고차방정식의 근이 단위원에 규칙적으로 놓이는 것은 아니다. zⁿ=1이 특별히 정다각형을 만드는 이유는 식 자체가 회전 대칭을 갖기 때문이다.

대수학의 기본정리는 n차 다항식이 중복도를 포함해 복소수 범위에서 정확히 n개의 근을 갖는다고 말한다. 실수만 보면 x²+1=0의 해가 사라지지만, 복소평면까지 넓히면 i와 -i가 보인다. 실수 계수를 가진 다항식에서 비실수 근이 나오면 켤레인 a-bi도 함께 나온다.

z⁴=1과 z⁵=1은 왜 원을 똑같이 나눌까

먼저

$$z^n=1$$

을 풀어 보자. 오른쪽의 1은 크기가 1이고, 각도는 한 바퀴를 몇 번 더 돌아도 같은 점이므로

$$1=e^{i2\pi m},\qquad m\in\mathbb Z$$

라고 쓸 수 있다. z=re^{iθ}를 넣으면

$$r^ne^{in\theta}=e^{i2\pi m}$$

이다. 따라서 크기와 각도를 각각 비교해

$$r=1,\qquad n\theta=2\pi m$$

을 얻는다. 서로 다른 해만 고르면

$$z_k=e^{i2\pi k/n} =\cos\frac{2\pi k}{n} +i\sin\frac{2\pi k}{n}, \qquad k=0,1,\ldots,n-1$$

이다.

z⁴=1에서는 각도가 0°, 90°, 180°, 270°이므로

$$1,\ i,\ -1,\ -i$$

가 나온다. 각 해를 네 번 곱한다는 것은 각도를 네 번 더하는 것이고, 모두 360°의 정수배가 되어 1로 돌아온다.

z⁵=1에서는 360°를 5등분한 72° 간격으로 다섯 해가 나온다.

이 다섯 점을 각각 다섯 제곱하면 크기는 계속 1이고 각도는 0°, 360°, 720°, 1080°, 1440°가 된다. 전부 단위원의 같은 점 1이다.

조립제법은 왜 여기 끼어 있었을까

참고 글은 x⁵=1을 먼저 실수 다항식 계산으로 접근한다. 식을 한쪽으로 모으면

$$P(x)=x^5-1=0$$

이고 x=1이 해라는 것은 바로 알 수 있다.

$$P(1)=1^5-1=0$$

인수정리에 따라 P(1)=0이면 (x-1)이 P(x)의 인수다. 조립제법은 다항식을 (x-c)로 나누는 긴 나눗셈을 계수만 써서 압축한 방법이다.

이때 가장 자주 놓치는 부분은 빈 차수에 0을 써야 한다는 것이다.

$$x^5-1 =1x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x-1$$

따라서 계수는 1, 0, 0, 0, 0, -1이고 (x-1)로 나누므로 왼쪽에는 1을 쓴다.

계산은 같은 동작의 반복이다.

1. 맨 앞의 1을 그대로 내린다.
2. 내려온 수에 왼쪽의 1을 곱해 다음 칸에 쓴다.
3. 위아래를 더한다.
4. 마지막 칸까지 다시 곱하고 더한다.

아래 행은 1, 1, 1, 1, 1, 0이 된다. 마지막 0은 나머지이고, 앞의 다섯 수는 몫의 계수다.

$$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$

즉 조립제법은 복소평면을 설명하는 새 이론이 아니라, 이미 찾은 근 x=1을 이용해 다항식 차수를 하나 낮추는 대수 계산 도구다.

참고 글의 t=x+1/x 치환은 무슨 일을 하나

x=1을 제외한 나머지 네 근은

$$x^4+x^3+x^2+x+1=0$$

을 만족한다. 이 근들은 0이 아니므로 양변을 x²으로 나눌 수 있다.

$$x^2+x+1+\frac1x+\frac1{x^2}=0$$

여기서

$$t=x+\frac1x$$

라고 두면

$$x^2+\frac1{x^2} =\left(x+\frac1x\right)^2-2 =t^2-2$$

이므로 원래 식은

$$(t^2-2)+t+1=0$$ $$t^2+t-1=0$$

이라는 이차방정식으로 줄어든다. 그다음 근의 공식으로 t를 구하고 다시 x+1/x=t를 풀면 네 복소근의 근호 표현이 나온다.

이 방법은 대수적으로 옳고, 서로 역수인 근을 한 쌍으로 묶는 구조도 보여 준다. 그러나 단위근의 위치를 처음 이해하려는 목적에는 오일러 표현이 훨씬 직접적이다. 근호 네 줄보다 “단위원을 72°씩 나눈 다섯 점”이 구조를 먼저 보여 주기 때문이다.

이 표현이 푸리에·라플라스·회로로 이어지는 이유

복소평면은 고차방정식의 근을 그리는 데서 끝나지 않는다. 복소지수는 선형 공학 계산에서 형태를 잘 보존한다.

$$\frac{d}{dt}e^{st}=se^{st}$$

미분을 해도 함수 모양은 그대로이고 복소수 s만 곱해진다. 그래서 미분방정식을 다항식 계산으로 바꾸는 라플라스 변환과 잘 맞는다. s=σ+iω에서 실수부 σ는 감쇠·성장, 허수부 ω는 진동과 연결된다.

푸리에 해석에서는 e^{iωt}가 주파수 ω의 회전을 나타낸다. 시간 이동은 위상 회전으로, 미분은 iω의 곱셈으로 바뀐다. 교류 회로의 페이저도 전압과 전류의 크기와 위상을 re^{iθ} 하나에 담아 R·L·C의 위상차를 계산한다.

그러므로 “주기성이 있으니 푸리에·Z·라플라스에 쓴다”에서 한 걸음 더 정확히 말하면 이렇다.

복소지수는 회전·감쇠를 한 식에 담고, 미분과 시간 이동 같은 선형 연산을 곱셈으로 바꾸기 때문에 변환과 회로 계산의 기본 언어가 된다.

지금 반드시 붙잡아 둘 식

전부 외우기보다 아래 연결을 순서대로 기억하면 된다.

$$i^2=-1$$ $$z=a+bi,qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},qquad \theta=\operatorname{atan2}(b,a)$$ $$a=r\cos\theta,qquad b=r\sin\theta$$ $$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$$ $$z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$ $$z^n=r^ne^{in\theta}$$ $$z_k=e^{i2\pi k/n},\qquad k=0,1,\ldots,n-1$$

마지막으로 조립제법에서는 이것만 잊지 않으면 된다.

• (x-c)로 나눌 때 왼쪽에 쓰는 수는 c다.
• 빠진 차수의 계수는 반드시 0으로 채운다.
• 마지막 수는 나머지이고, 나머지가 0이면 (x-c)가 인수다.

복소평면, 사인·코사인, 오일러 공식, 고차방정식은 따로 떨어진 네 주제가 아니다. 점을 좌표로 쓰고, 같은 점을 거리와 각도로 다시 쓰고, 그 각도를 지수로 계산한 뒤, 거듭제곱이 만드는 회전 대칭에서 다항식의 근을 찾는 한 이야기다.

조립제법을 까먹은 것은 이 연결을 이해하지 못했다는 뜻이 아니다. 조립제법은 다시 연습하면 금방 돌아오는 절차이고, 더 중요한 것은 이제 x⁵=1을 봤을 때 계수표보다 먼저 단위원 위의 정오각형을 떠올릴 수 있다는 점이다.