도·분·초와 라디안을 공학 계산에서 바꾸는 법

도면에는 12° 34′ 56″, 엔코더 설정에는 degree, 진동 식에는 rad/s가 등장한다. 모두 각도를 표현하지만 그대로 한 식에 넣을 수는 없다. 특히 삼각함수의 미분, 호 길이와 각속도 계산은 각도를 라디안으로 사용한다는 전제 위에 놓여 있다.

도·분·초는 한 도를 60진법으로 나눈다

한 바퀴는 360°, 1°는 60 arcminutes, 1 arcminute은 60 arcseconds다.

$$1^\circ=60'=3600''$$

DMS 각도 D° M′ S″를 십진도로 바꾸는 식은 다음과 같다.

$$\theta_{deg}=D+\frac{M}{60}+\frac{S}{3600}$$

예를 들어 다음 각도는

$$12^\circ34'56''=12+\frac{34}{60}+\frac{56}{3600} =12.582222\ldots^\circ$$

음의 좌표나 각도에서는 부호가 전체 DMS 값에 적용되도록 처리해야 한다.

$$-12^\circ34'56''=-\left(12+\frac{34}{60}+\frac{56}{3600}\right)^\circ$$

소프트웨어에 -12 + 34/60 + 56/3600을 입력하면 전혀 다른 값이 된다. DMS 문자열을 파싱할 때는 hemisphere 표기와 부호 규칙도 명확히 정한다.

십진도에서 DMS로 돌아갈 때는 정수부를 degree로 두고, 소수부에 60을 곱해 minute를 구한 뒤 남은 소수에 다시 60을 곱한다. 반올림 결과가 60″가 되면 1′로 올림하는 처리도 필요하다.

라디안은 호 길이와 반지름의 비다

반지름 r인 원에서 호 길이가 s일 때 중심각의 라디안 값은 다음과 같다.

$$\theta=\frac{s}{r}$$

길이를 길이로 나눈 비이므로 라디안은 차원 1의 coherent SI 단위다. 한 바퀴의 호 길이가 2πr이므로 한 바퀴는 2π rad다.

$$360^\circ=2\pi\,\mathrm{rad}$$

따라서 degree와 radian의 변환은 다음과 같다.

$$\theta_{rad}=\theta_{deg}\frac{\pi}{180}$$ $$\theta_{deg}=\theta_{rad}\frac{180}{\pi}$$

90°=π/2 rad, 1 rad≈57.2958°다. 계산 결과에 rad를 표시하면 각도라는 의미는 남지만, 곱셈에서 길이 차원을 추가하지는 않는다.

호 길이와 회전 이동량은 라디안에서 바로 연결된다

라디안 정의를 정리하면 호 길이는 다음과 같다.

$$s=r\theta$$

반지름 0.2 m인 풀리가 30°, 즉 π/6 rad 회전하면 가장자리 이동 거리는 다음과 같다.

$$s=0.2\times\frac{\pi}{6}\approx0.1047\,\mathrm{m}$$

식에 30을 그대로 넣으면 6 m라는 잘못된 결과가 나온다. s=rθ에서 θ는 반드시 radian 값이다.

회전각을 시간으로 미분하면 각속도, 다시 미분하면 각가속도가 된다.

$$\omega=\frac{d\theta}{dt},\qquad \alpha=\frac{d\omega}{dt}$$

회전 주파수 f와 각속도 관계는 다음과 같다.

$$\omega=2\pi f$$

60 Hz 회전 성분은 약 377 rad/s다. 축 속도가 rpm으로 주어지면 ω=2πn/60으로 바꾼다. 1800 rpm은 약 188.5 rad/s다.

삼각함수의 미분은 라디안에서 계수가 붙지 않는다

각도 x를 라디안으로 쓸 때 다음 관계가 성립한다.

$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$

degree를 독립변수로 쓰면 변환 계수 π/180이 추가된다.

$$\frac{d}{dx}\sin(x^\circ)=\frac{\pi}{180}\cos(x^\circ)$$

라디안은 호 길이 비율로 정의되기 때문에 sin θ/θ→1이 되고, 미분·적분과 회전 운동의 식이 불필요한 단위 변환 없이 연결된다.

작은 각도는 길이 오차로 바로 환산할 수 있다

|θ|가 충분히 작고 radian으로 표현됐다면 다음 근사가 성립한다.

$$\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta$$

30 arcseconds를 radian으로 바꾸면 다음과 같다.

$$30''\times\frac{\pi}{180\times3600}\approx145.4\,\mu\mathrm{rad}$$

2 m 거리에서 이 각도 오차가 만드는 가로 오프셋은

$$y=2\tan\theta\approx2\theta\approx0.291\,\mathrm{mm}$$

레이저 정렬, 기울기 센서, 축 정렬에서 작은 각도를 치수 오차로 바꾸는 기본 계산이다. 근사의 허용 오차가 중요하면 tan θ의 정확값과 비교해야 한다.

계산 입력에서는 단위를 명시한다

1. DMS는 십진도 또는 라디안으로 먼저 정규화한다.
2. sin, cos, atan2 함수가 degree mode인지 radian mode인지 확인한다.
3. s=rθ, v=rω, 미분·적분 식에는 radian을 사용한다.
4. 출력 보고서에는 원래 입력 단위와 변환된 값을 함께 남긴다.
5. 작은 각도 근사는 적용 범위와 필요한 정확도를 확인한다.

Degree는 읽고 나누기 편한 각도 단위이고, radian은 각도와 길이·시간 변화율을 직접 연결하는 계산 단위다.